sinA + cosA = sinB + cosB হলে , A + B = ?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(\sin A + \cos A = \sin B + \cos B\)

পদগুলো পুনর্বিন্যাস করি:

\(\sin A - \sin B = \cos B - \cos A\)

এখন, ত্রিকোণমিতির যোগফল-গুণফল সূত্রগুলো ব্যবহার করি। আমরা জানি:

    
• \(\sin X - \sin Y = 2 \cos \left( \frac{X+Y}{2} \right) \sin \left( \frac{X-Y}{2} \right)\)
    
• \(\cos Y - \cos X = 2 \sin \left( \frac{X+Y}{2} \right) \sin \left( \frac{X-Y}{2} \right)\)

সুতরাং, সমীকরণে এই সূত্রগুলো প্রয়োগ করে পাই:

\(2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)\)

উভয় পক্ষকে \(2\) দ্বারা ভাগ করি:

\(\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) = \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)\)

এই সমীকরণটি দুটি শর্তে সত্য হতে পারে:

প্রথম শর্ত: যদি \(\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) = 0\) হয়।

যদি \(\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) = 0\) হয়, তাহলে \(\frac{A-B}{2} = n\pi\), যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা। এক্ষেত্রে, \(A-B = 2n\pi\)। এটি নির্দেশ করে যে \(A=B\) (যখন \(n=0\)) অথবা \(A\) এবং \(B\) এর মান \(2\pi\) এর গুণিতকের ব্যবধানে থাকে। যদি \(A=B\) হয়, তাহলে \(A+B = 2A\), যা একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক মান নয় এবং অপশনগুলোর সাথে মেলে না। প্রশ্নটি \(A+B\) এর একটি নির্দিষ্ট মান চেয়েছে, তাই আমরা দ্বিতীয় শর্তটি বিবেচনা করব।

দ্বিতীয় শর্ত: যদি \(\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \neq 0\) হয়।

যদি \(\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \neq 0\) হয়, তাহলে আমরা উভয় পক্ষকে \(\sin \left( \frac{A-B}{2} \right)\) দ্বারা ভাগ করতে পারি:

\(\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) = \sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\)

যদি \(\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \neq 0\) হয়, তাহলে উভয় পক্ষকে \(\cos \left( \frac{A+B}{2} \right)\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\tan \left( \frac{A+B}{2} \right) = 1\)

আমরা জানি যে \(\tan \theta = 1\) এর সাধারণ সমাধান হলো \(\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}\), যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা।

সুতরাং, \(\frac{A+B}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4}\)

অতএব, \(A+B = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\)

এই সমীকরণে \(n\) এর বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যা মান বসিয়ে \(A+B\) এর বিভিন্ন মান পাওয়া যায়।

    
• যদি \(n=0\) হয়, \(A+B = 2(0)\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\)
    
• যদি \(n=1\) হয়, \(A+B = 2(1)\pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}\)

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, \(n=0\) এর জন্য প্রাপ্ত মান \(\frac{\pi}{2}\) রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে, যদি \(A+B = \frac{\pi}{2}\) হয়, তাহলে \(B = \frac{\pi}{2} - A\)।

মূল সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করি:

\(\sin A + \cos A = \sin \left( \frac{\pi}{2} - A \right) + \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)\)

\(\sin A + \cos A = \cos A + \sin A\)

যা সত্য।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \(\frac{\pi}{2}\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এ ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সাধারণ পর্যবেক্ষণ বা শর্টকাট পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে।

আমরা জানি, \(\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})\)।

এই সূত্র ব্যবহার করে প্রদত্ত সমীকরণটিকে লেখা যায়:

\(\sqrt{2} \sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right)\)

উভয় পক্ষ থেকে \(\sqrt{2}\) বাদ দিলে:

\(\sin \left( A + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( B + \frac{\pi}{4} \right)\)

যদি \(\sin X = \sin Y\) হয়, তাহলে \(X = n\pi + (-1)^n Y\) (যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা)।

আমরা সেই সমাধান বিবেচনা করব যা \(A+B\) এর একটি নির্দিষ্ট মান দেয়:

যদি \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় (যেমন \(n=2k+1\)), তখন \(X = (2k+1)\pi - Y\)।

ধরি, \(X = A + \frac{\pi}{4}\) এবং \(Y = B + \frac{\pi}{4}\)।

\(A + \frac{\pi}{4} = (2k+1)\pi - \left( B + \frac{\pi}{4} \right)\)

\(A + \frac{\pi}{4} = (2k+1)\pi - B - \frac{\pi}{4}\)

\(A + B = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\)

\(A + B = (2k+1)\pi - \frac{2\pi}{4}\)

\(A + B = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{2}\)

যদি \(k=0\) হয়, তখন:

\(A+B = (2(0)+1)\pi - \frac{\pi}{2}\)

\(A+B = \pi - \frac{\pi}{2}\)

\(A+B = \frac{\pi}{2}\)

এটি প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে মিলে যায়।